Как известно, одна из первых счетных машин, сведения о которой дошли до наших дней, была детищем немецкого математика и естествоиспытателя Вильгельма Шиккарда. В 1623 году он сконструировал десятичное шестиразрядное устройство, состоящее из трех различных узлов. На верхней, вертикальной части машины располагалось множительное устройство — набор деревянных брусков, так называемые «палочки Непера», свернутые в цилиндр, а ниже — вспомогательный регистр, позволявший фиксировать промежуточные результаты исчислений. Однако и счетная машина Шиккарда (кстати, погибшая во время пожара в мастерской ученого в 1624 году), и аналогичное приспособление французского философа и математика Блеза Паскаля, сконструированное им в 1641 году, были доступны только квалифицированным пользователям, знакомым с азами механики. Разумеется, творение знаменитого Паскаля вызывало огромный интерес у современников — как у специалистов, так и у просвещенной публики в целом. Диковина демонстрировалась в европейских столицах, в резиденциях коронованных особ. В 1652 году автор преподнес как дар один из вариантов своего счетного приспособления шведской королеве Христине, снискавшей славу покровительницы наук и искусств. 22 апреля 1592 г. в Тюбингене родился математик, астроном и естествоиспытатель Вильгельм Шиккард, лишивший Блеза Паскаля лавров изобретателя счетной машины. Впрочем, триумф удался лишь отчасти: вскоре выяснилось, что первый «калькулятор» был придуман гениальным Леонардо да Винчи. Машине Шиккарда, которую он сам называл «часами для счета», состоявшей из 11 десятизубых и 6 однозубых колес, были подвластны четыре арифметических действия, а их результат можно было наблюдать в специальных окошечках. «Кеплер (речь идет о знаменитом астрономе Иоганне Кеплере) был бы приятно удивлен, — писал изобретатель, — если бы увидел, как машина сама накапливает и переносит влево десяток или сотню, и как она отнимает то, что держит в уме при вычитании...» Но Кеплер не успел удивиться: в 1624 г., через год после того, как Шиккард сообщил о своем успехе, пожар уничтожил его творение, после чего об изобретении забыли на столетия. К счастью, математик привел чертеж «часов» в одном из своих писем, что позволило их реконструировать. Шиккарда почитали создателем первой счетной машины всего 10 лет: в Мадриде в 1967 г. нашлись неизвестные рукописи Леонардо да Винчи, среди которых был обнаружен эскиз тринадцатиразрядного суммирующего устройства с десятизубыми колесами. Однако по мере роста числа населяющих планету людей возникала необходимость расширения районов их обитания, возрастала потребность в дополнительных источниках пищи. Все это вело к освоению новых форм хозяйствования, таких как земледелие и скотоводство. В свою очередь, это привело к усилению воздействия человека на окружающую среду. Человек стал вырубать и выжигать леса под пахотные земли. Началась эрозия почв. Стада одомашненных животных вытаптывали луга. Началось постепенное нарушение баланса между человеком и природой. В более поздние
Катострофы Современный человек на протяжении своей жизни находится в различных средах: социальной, производственной, местной (городской, сельской), бытовой, природной и др.Негативные воздействия факторов природной среды проявляются главным образом в чрезвычайных ситуациях. Эти ситуации могут быть следствием как стихийных бедствий, так и производственной деятельности человека. В целях локализации и ликвидации негативных воздействий, возникающих в чрезвычайных ситуациях, создаются специальные службы, разрабатываются правовые основы и создаются материальные средства для их деятельности. Большое значение имеет обучение населения правилам поведения в таких ситуациях, а также подготовка специальных кадров в области безопасности жизнедеятельности.К техногенным чрезвычайным ситуациям относятся: аварии на промышленных объектах и магистральных трубопроводах, химические аварии, аварии с выбросом радиоактивных веществ, аварии в зданиях жилого и социально-бытового назначения. ЧС техногенного характера, которые могут возникнуть в мирное время – это промышленные аварии с выбросом опасных отравляющих химических веществ (ОХВ); пожары и взрывы, аварии на транспорте: железнодорожном, автомобильном, морском и речном, а также в метрополитене.В зависимости от вида производства, аварии и катастрофы на промышленных объектах и транспорте могут сопровождаться взрывами, выходом ОХВ, выбросом радиоактивных веществ, возникновением пожаров и т.п.Чрезвычайные ситуации техногенного характера, как правило, возникают в результате производственных аварий и катастроф. Основные причины техногенных аварий и катастроф – высокий износ производственных фондов, особенно на предприятиях химического комплекса, нефтегазовой, металлургической и горнодобывающей промышленности; рост объемов транспортировки, хранения и использования опасных (вредных) веществ, материалов и изделий, а также накопление отходов производства, представляющих угрозу населению и окружающей среде; понижение уровня профессиональной подготовки персонала промышленных предприятий и др.К сожалению, количество аварий во всех сферах производственной деятельности неуклонно растет. Современные сложные производства проектируются с высокой степенью надежности. Однако, чем больше производственных объектов, тем больше вероятность ежегодной аварии на одном из них. Абсолютной безаварийности не существует.Все чаще аварии принимают катастрофический характер с уничтожением объектов и тяжелыми экологическими последствиями (например – Чернобыль). Анализ таких ситуаций показывает, что независимо от производства, в подавляющем большинстве случаев они имеют одинаковые стадии развития.На первой из них аварии обычно предшествует возникновение или накопление дефектов в оборудовании, или отклонений от нормального ведения процесса, которые сами по себе не представляют угрозы, но создают для этого предпосылки. Поэтому еще возможно предотвращение аварии.На второй стадии происходит какое-либо инициирующее событие, обычно неожиданное. Как правило, в этот период у операторов обычно не бывает ни времени, ни средств для эффективных действий.Собственно авария происходит на третьей стадии, как следствие двух предыдущих. Основные причины аварий:
· просчеты при проектировании и недостаточный уровень безопасности современных зданий;
· некачественное строительство или отступление от проекта;
· непродуманное размещение производства;
· нарушение требований технологического процесса из-за недостаточной подготовки или недисциплинированности и халатности персонала.
В зависимости от вида производства, аварии и катастрофы на промышленных объектах и транспорте могут сопровождаться взрывами, выходом ОХВ, выбросом радиоактивных веществ, возникновением пожаров и т.п. К радиационно-опасным объектам относятся атомные электростанции и реакторы, предприятия радиохимической промышленности, объекты по переработке и захоронению радиоактивных отходов и т.д. ЧС техногенного характера, которые могут возникнуть в мирное время – это промышленные аварии с выбросом опасных отравляющих химических веществ (ОХВ); пожары и взрывы, аварии на транспорте: железнодорожном, автомобильном, морском и речном, а также в метрополитене.В зависимости от вида производства, аварии и катастрофы на промышленных объектах и транспорте могут сопровождаться взрывами, выходом ОХВ, выбросом радиоактивных веществ, возникновением пожаров и т.п.
К концу первого десятилетия XVI в. в Европе появился мыслитель, которому суждено было начать первую великую революцию в астрономии, в корне изменившую, однако, и всю физическую картину мира, т. е. развившуюся в революцию универсальную. Этим мыслителем был гениальный польский астроном Николай Коперник (1473—1543). Еще в 90-е годы XV в., после первого глубокого восхищения математическим гением Птолемея, Коперник убедился и в существовании глубоких противоречий между его теорией мира и наблюдениями. Восхищение сменилось сомнениями... В поисках других идей он изучил в подлинниках сохранившиеся сочинения или изложения учений древнегреческих математиков и натурфилософов, иначе, первых физиков. Среди них были и автор геоцентрической системы, и первый истинный гелиоцентрист Аристарх Самосский, и пифагорейцы, также утверждавшие подвижность Земли и учившие о всеобщей числовой гармонии мира. Глубокое проникновение в древнегреческую науку, культуру, философию сформировало широкий склад мышления у самого Коперника. Вместе с тем он первым взглянул на весь накопившийся за тысячелетия опыт астрономии глазами смелого и уверенного в своих творческих и познавательных способностях человека эпохи Возрождения. После длительного периода замкнутости, оторванности от жизни, наука выходила на широкий простор сотрудничества с практикой. Новые, более точные таблицы движения небесных тел, прежде всего Луны и Солнца (по сравнению с Альфонсинскими, которые к XVI в. сильно разошлись с наблюдениями), нужны были для вычисления положений Луны для данного места и момента времени. Долгое время это был единственный способ нахождения долготы во время длительных морских плаваний в эпоху развития торговли и великих географических открытий. Немалым стимулом для совершенствования теории планетной системы были нужды популярной тогда астрологии. Наконец, теория движения Солнца и Луны стала необходимой для уточнения календаря. Определяя разницу во времени одного и того же положения Луны на небе — по таблицам и по часам, установленным по Солнцу во время плавания, находили долготу места на море. Календарная дата весеннего равноденствия, приходившаяся в IV в. новой эры на 21 марта и опрометчиво закрепленная за этим числом специальным церковным съездом — Никейским собором в 325 г. как важная отправная дата при расчете основного христианского праздника пасхи, к XVI в. отставала от действительной даты равноденствия на 10 дней! Собравшийся по этому поводу в 1512—1517 гг. в Риме Латеранский собор отметил чрезвычайную остроту проблемы календаря (который пытались совершенствовать еще с VIII в.) и предложил ее решить крупнейшим астрономам, прежде всего Копернику. Но последний ответил тогда отказом, так как считал недостаточно развитой и точной теорию движения Солнца и Луны, которые и лежат в основе календаря. Вместе с тем это стало одним из стимулов взяться за такое совершенствование теории. В отличие от своих современников и предшественников, пытавшихся лишь совершенствовать детали птолемеевой системы либо же обращаться к древней схеме гомоцентрических сфер, но не имевших смелости отказаться от самого геоцентрического принципа, Коперник сумел преодолеть это преклонение перед авторитетами и робость перед догмой и вместе с тем глубоко понять плодотворность и истинность идеи древнегреческой натурфилософии — искать простоту и гармонию в природе как ключ к объяснению явлений, искать единую сущность многих кажущихся различными явлений. В итоге уже к 1530 г. в основном было завершено, но только в 1543 г. полностью увидело свет одно из величайших творений с истории человеческой мысли — «Николая Коперника Торунского. О вращениях небесных сфер. Шесть книг». Вновь, как и в «Альмагесте», содержанием этих шести книг-глав стала вся, теперь уже современная Копернику астрономия. Коперник изложил математическую теорию сложных видимых движений Солнца, Луны, пяти планет и сферы звезд с соответствующими математическими таблицами и приложением каталога звезд. Но в основу объяснений был положен принцип, обратный геоцентризму. В центре мира Коперник поместил Солнце, вокруг которого движутся планеты,— и среди них впервые зачисленная в ранг «подвижных звезд» Земля со своим спутником Луной. На огромном расстоянии от планетной системы находилась сфера звезд. Его вывод о чудовищной удаленности этой сферы теперь диктовался и самим гелиоцентрическим принципом: только так мог Коперник согласовать его с видимым отсутствием у звезд смещений за счет движения самого наблюдателя вместе с Землей, отсутствием у них параллаксов. С течением времени первоначальные детали каждой теории стираются в памяти человечества. Она либо огрубляется (как это было с теориями Аристотеля и Птолемея), либо модернизируется по мере развития науки. И эти новые черты приписываются исходной теории. Так, в многовековой и драматической борьбе за торжество гелиоцентризма постепенно изменялось представление о первоначальном содержании теории Коперника. Уже первые борцы за новое мировоззрение использовали ее революционную сущность — принцип гелиоцентризма планетной системы; принцип движения Земли как рядовой планеты; объяснение всех главных особенностей видимого движения планет и звезд суточным и годичным движениями Земли. В результате сложилось и широко распространилось ошибочное мнение, что и для самого Коперника главной целью была замена геоцентризма на гелиоцентризм. Система Коперника с точки зрения математики была несколько проще системы Птолемея, и этим сразу же воспользовались в практических целях. На ее основе составили «Прусские таблицы» О. Рейнгольд (1551 г.). Она позволила уточнить длину тропического года и провести в 1582 г. (указом от 24 февраля) давно назревшую реформу календаря. В результате был введен новый, пли григорианский стиль. Большая простота (вернее, меньшая сложность) теории Коперника и получавшаяся, но лишь на первых порах, большая точность предвычислений положений планет по гелиоцентрическим таблицам Рейнгольда породили другую иллюзию. Преимущество теории Коперника стали усматривать именно в ее практической пользе. Однако и то и другое оказалось иллюзорным. Как же в действительности обстояло дело? В чем была истинная сила теории Коперника? Почему она могла вызвать и вызвала коренное революционное преобразование всего естествознания и научного мировоззрения? Коперник, так же, как и ученые Древней Греции, представлял Вселенную замкнутым пространством, ограниченным сферой звезд, неподвижных каждая на своем месте. Подобно античным ученым он считал истинные движения небесных тел равномерными и круговыми. Именно стремление восстановить чистоту планетной теории в этом отношении, достичь строгого выполнения в ней провозглашенных Платоном и Аристотелем принципов движения небесных тел, явно нарушенных в системе Птолемея введением экванта, было для Коперника, по его собственным словам, одним из стимулов для поисков иных способов описания движений планет. Но другим, несравненно более важным с точки зрения дальнейшего развития науки стимулом к ревизии и отказу от теории Птолемея стало для Коперника стремление восстановить утраченную логическую простоту и стройность планетной теории. В эпоху Коперника сосуществовало несколько моделей планетных движений, но все они опирались на геоцентризм и, в конце концов, сводились к системе Птолемея, лишь усложняя ее. (Общее число вспомогательных кругов в системах типа птолемеевой возросло до 80, в одной из последних попыток возродить систему гомоцентрических сфер число их для описания известных движений достигало 79). В этих системах движение планет представлялось с помощью нескольких равноправных независимых математических моделей. Для объяснения петель у данной планеты предполагалось, помимо движения по деференту, движение по своей группе эпициклов, никак не связанных, вообще говоря, с эпициклами и деферентом для другой планеты. В этом Коперник и увидел несовершенство, более того, указание на коренную несостоятельность теории Птолемея в чисто методологическом отношении. В ней отсутствовал единый стержневой принцип, который мог бы объяснить, по крайней мере, основные закономерности в движениях планет.
Это навело Коперника на мысль о ложности теории Птолемея и других подобных геоцентрических схем в чем-то основном. В них нарушался один из главных принципов природы: «природа не терпит лишнего». В этом принципе Коперник видел более глубокое проявление гармонии природы, выражающейся в стремлении возможно меньшим числом причин обеспечить возможно большее число следствий, явлений. Такая единая причина могла бы, по мнению Коперника, выявить общий порядок, «симметрию», «соразмерность частей» во Вселенной. Между тем птолемеева теория, как известно, не претендовала на большее, чел описание видимых угловых изменений в положении планет. Главный изъян геоцентрических систем мира Коперник видел именно в том, что «они не смогли определить форму мира и точную соразмерность его частей». Этими рассуждениями, изложенными в собственном предисловии к своему труду, Коперник, быть может, впервые отметил основную особенность птолемеевой и других подобных систем — их условный, модельный характер и ограниченность служебными целями. Эти теории позволяли предвычислять лишь направления на небесные светила, без попыток раскрыть истинную удаленность и расположение их в пространстве. Птолемей считал последние две задачи вообще неразрешимыми. Напротив, учет физических характеристик небесных тел в системе Коперника — уже во вводных главах — сразу показывает его отношение к своей теории, как к теории реального устройства планетной системы (а для Коперника — и всей Вселенной). Идею иного, не геоцентрического способа описания видимого движения планет Коперник нашел у древнегреческих философов — Аристарха Самосского и некоторых пифагорейцев. Он использовал идею именно первого — идею подвижности Земли, обращающейся вокруг реального тела — неподвижного Солнца, расположенного в центре мира. Принять гелиоцентризм Копернику помогло развитое им представление об относительном характере движения (кинематический принцип относительности движения). Этот известный древним грекам принцип в средние века был забыт. Неравномерное петлеобразное движение планет, неравномерное движение Солнца Коперник, как и Птолемей, считал кажущимся эффектом. Однако этот эффект он представил не как результат подбора и комбинации движений по условным вспомогательным окружностям, а впервые указал на реальную физическую (точнее — кинематическую) причину явления: перемещение самого наблюдателя (как при наблюдении с плывущего корабля предметов, находящихся на берегу). Таким образом, он допустил, что наблюдение ведется с движущейся Земли. Это допущение подвижности Земли и было главным новым принципом в системе Коперника. Он стремился обосновать его рядом физических и логических соображений. Вторым нововведением было принятие аристарховой идеи центрального положения Солнца в системе. Коперник и сам, впрочем, обратил внимание на особую роль Солнца, отразившуюся уже в птолемеевой схеме. Планеты по свойствам их движений как бы разделялись в ней Солнцем на две группы — нижние (ближе к Земле, чем Солнце) и верхние. В комбинации кругов для описания видимого движения каждой планеты существовал обязательно один круг с годичным, как у Солнца, периодом движения по нему. Для верхних планет это был первый, или главный эпицикл, для нижних — деферент. Кроме того, Меркурий и Венера (нижние планеты) вообще все время сопровождали Солнце, лишь совершая около него колебательные движения. И все же допустить в XVI в. подвижность Земли, лишив ее положения центра мира, было настолько противоречащим общепринятому «здравому смыслу» (слова Коперника), что сам Коперник постарался смягчить впечатление от своего нововведения. Он особо отметил, что поскольку размеры сферы звезд и удаленность ее от планет колоссальны, то вся система планет вместе с подвижной теперь Землей оказывались практически в центре этой Вселенной. В свое время Птолемей (а до него еще Гиппарх) введением эксцентриков для более точного отображения неравномерностей видимого движения небесных светил уже лишили Землю ее строго центрального положения в мире, какое она должна была занимать в аристотелевой сферической Вселенной. Введением экванта Птолемей еще более нарушил аристотелевы физические основания геоцентризма, что делало систему Птолемея внутренне противоречивой. Но такой ценой Птолемей нащупал нечто вроде геоцентрического «зеркального» отображения второго закона Кеплера! Допуская лишь круговые равномерные движения по любым окружностям только, относительно их собственных центров, Коперник начал с того, что отверг эквант — быть может, наиболее остроумную находку Птолемея. Этим он сделал даже некоторый принципиальный шаг назад. Принцип круговых равномерных движений вынудил Коперника и в гелиоцентрической системе для достаточно точного описания движения планет сохранить несколько десятков (!) эпициклов (правда, 34 вместо 80). По той же причине — принятия принципа равномерности движения — теория Коперника при расчетах была не намного проще птолемеевой и практически не отличалась от нее по точности предвычислений положений - планет на длительный промежуток времени. Несколько более высокая точность, дававшаяся на первых порах Прусскими таблицами, объяснялась не введением нового, гелиоцентрического принципа, а более развитым (по сравнению с XIII в.) математическим аппаратом вычислений. Эти таблицы также вскоре неизбежно разошлись с наблюдениями. Последнее даже охладило первоначальное восторженное отношение к теории Коперника у тех вычислителей, которые ожидали от нее немедленных практических выгод (неплохой урок и пример ложного подхода к оценке принципиально новой теории). Что же касается системы Коперника в целом как общей астрономической картины мира, то уже спустя четыре десятилетия Бруно разрушил ее, отвергнув замкнутую сферу звезд и центральное положение Солнца во Вселенной, провозгласив тождество Солнца и звезд и множественность «солнечных систем» в бесконечной Вселенной. В чем же таилась истинно революционная сила учения Коперника? Система Коперника завершала собою более чем двухтысячелетний путь развития умозрительных космологических теорий Вселенной и частично еще использовала некоторые древние космологические представления. Но она принципиально отличалась от всех прежних теорий. Революционная, преобразующая сила коперниковой гелиоцентрической системы таилась в ее внутренней логичности, экономности, совершенстве, достигнутых введением нового, гелиоцентрического принципа движения небесных тел, прежде всего подвижности самой Земли. С помощью двух основных действительных движений Земли — годичного и суточного — она сразу же объяснила все главные особенности запутанных видимых движений планет (попятные движения, стояния, петли) и раскрыла причину суточного движения небосвода. Впервые получила объяснение смена времен года: Земля движется вокруг Солнца, сохраняя неизменным в пространстве положение оси своего суточного вращения. Правда, для этого Копернику пришлось ввести «третье» движение Земли — обратное вращение с тем же годичным периодом вокруг некой другой оси в теле Земли — перпендикулярной плоскости эклиптики. С помощью комбинации обычного годичного движения — обращения вокруг Солнца — и этого вращения Земли, допуская небольшое различие в их скоростях, Коперник предложил довольно остроумное кинематическое объяснение явления прецессии. В системе Коперника впервые получила объяснение загадочная прежде последовательность размеров первых, или главных эпициклов у верхних планет. (Они были введены Птолемеем для описания петлеобразных движений планет.) Размеры их оказались убывающими с удалением планеты от Земли. Движение по этим эпициклам, равно как и движение по деферентам для нижних планет, совершалось с одним и тем же годичным периодом, равным периоду обращения Солнца вокруг Земли! — Все эти годичные круги геоцентрической системы оказались излишними в системе Коперника. Петлеобразные движения планет теперь объяснялись одной единственной причиной — годичным движением Земли вокруг Солнца. В различии же размеров петель (и, следовательно, радиусов соответствующих эпициклов) Коперник правильно увидел отображение того же орбитального движения Земли: наблюдаемая с Земли планета должна описывать видимую петлю и тем меньшую, чем дальше она от Земли. Эта гениальная расшифровка видимых явлений позволила Копернику впервые за всю историю изучения неба сделать обоснованный вывод о действительном расположении планет в Солнечной системе и получить весьма точные относительные расстояния планет от Солнца (в расстояниях Земля — Солнце, т. е. в астрономических единицах, выражаясь современным языком). Таким образом, то, что Птолемей считал непостижимым, уже содержалось в скрытом виде в его системе. Но только Коперник понял, что этими расстояниями планет были величины, обратные радиусам первых эпициклов для внешних планет и совпадающие с радиусами деферентов — для внутренних («нижних» по геоцентрической терминологии). Коперник как бы поставил зеркало перед зеркально перевернутой (по отношению к действительности) системой Птолемея и таким образом впервые получил правильное, прямое изображение устройства планетной системы. Довольно хорошее совпадение оценок показывает достаточно высокую точность, достигнутую в измерениях некоторых постоянных астрономических величин уже в древности, но вместе с тем еще раз демонстрирует бессилие геоцентрической системы в. объяснении действительности. Только введение гелиоцентрического принципа позволило понять истинный смысл полученных величин. Именно логическая стройность, экономность и в этом смысле простота и совершенство теории Коперника, ее способность объяснить немногими причинами совокупность многих, считавшихся до этого совершенно различными явлений, увязать их в единую систему привлекли к ней горячие симпатии прогрессивно мыслящих современников. Эти черты теории свидетельствовали о ее правильности по существу. И уже не столь важным было то, что принесенная в ней дань традициям — принятие круговых равномерных движений небесных тел, центрального положения Солнца во Вселенной и ограничивающей Вселенную сферы звезд — снижала ее точность при практических расчетах или ограничивала мир единственной планетной системой. Возрожденные Коперником принципы подвижности Земли и центрального положения Солнца в системе планет не только явились ключом к объяснению истинного строения собственно Солнечной системы, но стали и мощным инструментом для дальнейшего познания мира за ее пределами. Теория Коперника вскрыла важнейший принцип устройства Вселенной: признав подвижность, планетарность, неуникальность Земли, она тем самым устраняла вековое представление и об уникальности центра вращения во Вселенной. Центром вращения стало Солнце. Но Солнце не было уникальным телом. О его тождественности со звездами догадывались еще в древности. Это «освобождение» центра вращения от его «единственности» в свою очередь освобождало человеческую мысль, выпускало ее на необъятный простор для дальнейших сравнений и обобщений. Уже вскоре Бруно объединил с этим принципом идею Николая Кузанского об изотропности и безграничности Вселенной и пришел к построению концепции о множественности планетных систем в бесконечной Вселенной. Раскрытие двойственной причины сложных видимых планетных движений — разложение их на собственные реальные движения планет и на видимые, являющиеся отражением движения наблюдателя (т. е. Земли), направило мысль на поиски истинных движений небесных тел, что и сделал Кеплер, а также на углубленное изучение законов движения вообще (Галилеи). Эти два пути развития теории Коперника привели к созданию небесной и общей механики и объединились в новой физической картине мира Ньютона. Геоцентрический способ описания видимого движения, например Солнца, метеорных потоков, сохранился в современной астрономии лишь как удобный в некоторых задачах математический прием. На первый взгляд теория Коперника затрагивала лишь третий элемент аристотелевой физико-космологической системы мира — изменяла конкретную модель Вселенной и, напротив, даже стремилась сохранить остальное, во всяком случае, механизм процессов (второй элемент): равномерные круговые движения небесных тел, причина которых не обсуждалась и у Коперника, т. е. оно принималось как факт. Но теория Коперника сразу вступила в конфликт с первым элементом картины мира Аристотеля: небесные тела, как и Земля, которая была введена в круг планет, в свою очередь оказывались центрами тяжести, во всяком случае, центрами обращения других тел. А спустя чуть более полувека выяснилось противоречие гелиоцентрической системы и второму элементу картины мира Аристотеля: истинные движения планет оказались не круговыми и не равномерными. Таким образом, начавшись как революция в астрономии, коперниковская революция в теории планетных движений уже вскоре проявила черты революции универсальной, так как привела к полной смене физической картины мира, хотя взрывной силы этой новой теории не понимал и сам Коперник.
Численные методы
5.2. Поиск нулей Раздел содержит численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений F(x)=0 Для половины методов поиск корня представляет собой итерационный процесс движения по оси X от некоторой точки x0, выбранной в качестве нулевого приближения, к точному значению корня x*. Новые приближения вычисляются по рекуррентной формуле xi+1=G(xi). Для другой половины методов задается начальный интервал поиска [a,b], сужаемый затем процедурой [ai+1,bi+1]=G([ai,bi]). Методы бывают нулевого, первого, второго порядков в зависимости от того, какой порядок имеет рекуррентная формула. Кроме того, методы различаются условиями сходимости. Выбирая метод под конкретную задачу, учитывают следующие факторы: алгоритм должен сходиться в диктуемых задачей условиях, программная реализация должна быть по возможности короче и иметь минимальную трудоемкость. Как правило, методы высоких порядков целесообразно применять для решения трудоемких уравнений. 5.2.1 Прямые методы Уравнение должно быть выражено относительно x: x=f(x). Процесс сходится, если в области поиска корня |f'(x)|<1. Программа 72. Метод простых итераций: xi+1=f(xi) 10 INPUT A
20 B=A:A=...f{B}...:IF A¦B THEN 20
30 PRINT A Размер: 28+, B Пример: x=sin x+1/4; x0=1,2. В программе: MODE 5
20 B=A:A=SIN A+.25: ... Ответ: x*=1,17122966. 5.2.3 Метод Ньютона и его модификации Согласно методу Ньютона, новое приближение xi+1 определяется как пересечение оси X с прямой, которая является касательной кривой F(x) в точке xi. Программа 75. Метод Ньютона: xi+1= xi-F(xi)/F'(xi). Процесс сходится, если в области поиска корня F'(x) ¦ 0 и F(x)F"(x)>0. Метод следует применять тогда, когда выражение F(x)/F'(x) вычисляется быстрее, чем дважды F(x). 10 INPUT A
20 B=A:A=B-...f{B}/f'{B}...:IF A¦B THEN 20
30 PRINT A Размер: 30+, B Пример: F(x)=x-sin x-1/4; (F'(x)=1-cos x); x0=1,2. В программе: MODE 5
20 B=A:A=A-(A-SIN A-.25)/(1-COS A): ... Ответ: x*=1,17122966. Численные методы. помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются основные группы методов: графические, аналитические, численные. Графические методы позволяют в ряде случаев оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений. Например, для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями. При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений, дифференциальных уравнений и т.п., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи. Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие ЧМ разработаны давно, однако при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач. С появлением ЭВМ начался период бурного развития ЧМ и их внедрения в практику. Только вычислительной машине под силу выполнить за сравнительно короткое время объем вычислений в миллионы, миллиарды и более операций, необходимых для решения многих задач. При счете вручную человеку не хватило бы жизни для решения одной такой задачи. ЧМ наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должен обладать и еще одним важным качеством - не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей. Численные методы, используемые в данной работе. Метод Ньютона. Этот метод обладает быстрой сходимостью и сравнительно хорошей точностью вычислений. В случае одного уравнения F(x)=0 алгоритм метода был легко получен путем записи уравнения касательной к кривой y=F(x). В основе метода ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций Fi(x1,x2,...xn) в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы уравнений F1(x1,x2,...xn)=0, F2(x1,x2,...xn)=0, ................(1) Fn(x1,x2,...xn)=0, (например, полученные на предыдущей итерации) равны соответственно a1,a2,...an. Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям ?x1,x2,....,xn, благодаря которым решение системы (1) запишется в виде: xi=ai+x1, x2=a2+x2,...,xn,=an+xn.(2) Проведем разложение левых частей уравнений (1) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений: F1(x1,x2,...xn)F1(a1,...an)+ F2(x1,x2,...xn)F2(a1,...an)+......... Fn(x1,x2,...xn)Fn(a1,...an)+. Поскольку в соответствии с (1) левые части этих выражений должны обращаться в нуль,то приравняем нулю и правые части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений: =-F1 =-F2(2) ............................ =-Fn Значения F1,F2,...,Fn и их производные вычисляются при x1=a1, x2=a2,...xn=an. Определителем системы (2) является якобиан: J= Для существования единственного решения системы (2) он должен быть отличным от нуля на каждой итерации. Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений (1) методом Ньютона состоит в определении приращений ?x1,x2,...xn, к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине: max|xi|<. В методе i Ньютона также важен выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.
В качестве примера рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений
F1(x,y)=0,(3)
F2(x,y)=0.
Пусть приближенные значения неизвестных равны a,b. Предположим, что якобиан системы (3) при x=a; y=b отличается от нуля, т.е.:
J=
Тогда следующие приближения неизвестных можно аписать в виде
x=a-(F1
Величины, стоящие в правой части, вычисляются при x=a, y=b.
При программировании данного метода в качестве исходных данных задаются начальные приближения неизвестных a,b, погрешности ?. Если итерации сойдутся, то выводятся значения x,y; в противном случае происходит вывод x,y по мере работы программы до прерывания ее пользователем. строки статуса